Kosmologie Blog

Adiabatenkonstante

2011-10-12T06:16:00.000-07:00

Adiabatenkonstante zeta = R*T*(8*pi*atilde/{3*h*c})^1/4

atilde .. Strahlungskonstante = 7.5658e-16 [J/(m^3*K^4)]
Ru .. Radius des Universums = 13.7e9 [a]*c = 1.2961e26 [m]
T_cmb .. Temperatur der kosmischen Hintergrundstrahlung

zeta = Ru*T_cmb*422.6431 = 1.4927e29

N_gamma .. Anzahl der Photonen der kosmischen Hintergrundstrahlung

N_gamma = 1.1256*zeta^3 = 4*pi/3*R^3*T^3*20286921 = 3.7437e87

Lösung des kosmologischen Problems

2011-10-12T05:57:00.000-07:00

1.) Radius des Universums R0 ~ c*t0 ~ 13.7e9 Jahre ~ 1.2961e26 [m]
2.) Temperatur der kosmischen Hintergrundstrahlung T_cmb = 2.725 [K]
3.) Masse der kosmischen Hintergrundstrahlung M_r = 4*pi*R0^3/3*atilde*T_cmb^4/c^2 = 4.2333e48 [kg]
4.) Wegen G*M0/R0 = c^2 folgt Masse des Universums M0 = c^2*R/G = 1.7453e53 [kg]
5.) Rotverschiebung im Equilibrium M0/2 = (1+z_eq)*M_r mit 1+z_eq = 20614
6.) Expansion des Universums in der Materie-Dominanz (MD): R ~ t^2/3 => 1+z_eq = R0/R_eq = (t0/t_eq)^2/3
R_eq = 6.2875e21 [m] und t_eq = t0/(R0/R_eq)^3/2 = 4628.9 [a] = 146.077e6 [s]
7.) Zeitlich variable Variantion der Gravitationskonstante in MD: G(z) = G/1+z => G_eq = G/20614 = 3.2377e-15
8.) Zeitliche Variation der Gravitationskonstante in Strahlungsdominaz (RD): G(z) = G_eq/(1+z´)^2 mit 1+z´= R_eq/R

c .. Lichtgeschwindigkeit
atilde .. Strahlungskonstante = 7.5658e-16 [J/(m^3*K^4)]
G .. Gravitationskonstante

Mit Hilfe der oben gemachten Annahmen lässt sich wie folgt Aussagen:

A.) G*M/R = c^2 gilt immer (bei MD: G/z*M*z/R = c^2 und bei RD: G/z^2*M*z^2/R)
B.) Radius des Universums gleich Planck-Länge dR = sqrt(h*G/c^3) = 4.0513e-35 [m]
Zeit tp bei dR: R_eq/dR = (t_eq/tp)^1/2 => tp = 6.0648e-102 [s]
Gravitationskonstante bei dR: dG = G_eq/R_eq^2*dR^2 = 1.3442e-127
Wichtig: tp = sqrt(h*dG/c^5)

Quantengravitation

2011-09-16T08:27:00.000-07:00

da = c/dt = c^2/dx = G*dm/dx^2 = dG*dM/dx^2

dG(t) = c^3/h*t^2/(t^2+1)

Planckzeit dt
Plancklänge dx
Planckmasse dm
Planckbeschleunigung da
dR/dx = (dt/tp)^(1/2) mit dR = 6.0469e-6 (z = 2.1432e31) rho = 3/(8*pi*G*dt^2)
Gravitationskonstante in Planck-Ära dG = c^3/h*tp^2 = 1.3437e-127
Masse des Universums in Planck-Ära dM = M_rad*z = 2.709e109
Rotverschiebung z = R0/dx = 3.1992e60

Feldgleichung Einsteins von 1915

2011-09-04T06:09:00.000-07:00

R_ik = 8*pi*G/c^4*T_ik

Lösungen in Robertson-Walker-Metrik:

-3*R"/R = 8*pi*G*rho
2*k*c^2/R^2 + 2*R'^2/R^2 + R"/R = 8*pi*G/c^2*P = 8*pi*G*rho/3

Für die Dichte gleich kritischer Dichte, k = +1 und R'=0 folgt:

R'=0 und p=0: k*c^2/R^2 = 4*pi*G*rho/3 = 1/t^2 = G*M/R^3
p=rho*c^2/3: R'/R = 4*pi*G*rho/3 = 1/t^2 = G*M/R^3

Geschlossenes Universum

2011-09-03T06:57:00.000-07:00

Überlegungen zur variablen Gravitationskonstanten (k = +1 = geschlossenes Universum):

Aus der speziellen Relativitätstheorie folgt: E = m*c^2 = m*G*M/R also G*M/R = c^2
Damit folgt mit einer modifizerten Newtonschen Dynamik: a = G*M/R^2 = sqrt(G*M*a)/R = c^2/R
Für ein schwarzes Loch muss weiters gelten: G*M/R^3 = 1/t^2

Aus der Massendichte der kosmischen Hintergrundstrahlung: rho_r = atilde*T_cmb^4/c^2 = 4.636e-31 [kg/m^3]
und der kritischen Dichte (Weltalter t0=13.7e9 Jahre): rho_c = 3/(8*pi*G*t0^2) = 9.5567e-27 [kg/m^3]
Folgt die Rotverschiebung im Equilibrium (Materie- gleich Strahlungsdichte): z_eq = rho_c / rho_r = 20614
Zeitpunkt des Equilibriums t_eq = t0/(1+z_eq)^3/2 = 4629 [a] = 146.077e9 [s]

Bei adiabatischer Expansion des Universums gilt die Anzahl der CMB-Photonen N_gamma ~ R^3*T^3 = const also: R*T = const

Für den Strahlungskosmos gilt: M ~ M_rad*z und G/R^2 = c^3/(zeta_r^4*h) = const
Temperatur im Equilibrium T_eq = z_eq*T_cmb (T_cmb = 2.725 [K])
Größe des Universums im Equilibrium R_eq = R/z_eq = 6.2876e21
Entropiekonstante zeta_r=R_eq*T_eq*{8*pi*atilde/(3*h*c)}^(1/4) = 1.4927e29

atilde = Strahlungskonstante = 7.567e-16 [J/(m^3*K^4)]

MOdifizerte Newtonsche Dynamik

2011-08-23T07:07:00.000-07:00

Skalenparameter R(t) = R*exp(t)
Geschwindigkeit R'(t) = R'*exp(t)
Beschleunigung R"(t) = R"*exp(t)

R = c*t
R' = c
R" = c/t = c^2/R

R"(t)/R(t) = R"/R = 1/t^2
R'(t)^2/R(t)^2 = R´^2/R^2 = 1/t^2

G*M/R = c^2
R" = G*M/R^2 = c^2/R = c/t
G*M/R^3 = 1/t^2

Strahlungskosmos und Materiekosmos

2011-07-13T00:44:00.000-07:00

Materiekosmos R ~ t^(2/3) und M = const

Equilibrium z_eq = 20614 => Req/R0 = 1/20614 = (teq/t0)^2/3
teq = 4629 [a] = 146.077e9 [s]
G(z) = G/(1+z) mit 1+z = R0/R(t)

Strahlungskosmos R ~ t^(1/2) und M ~ t^-1/2

Req/dR = (teq/dt)^(1/2) = 1.0398e27
G(z´) = Geq/(1+z´)^2 mit 1+z´ = Req/R(t) und Geq = G/z_eq

Expansionsfaktor zeta = 20614*1.0398e27 = 2.1432e31

dt .. Planckzeit = sqrt(h*G/c^5)
dR .. Radius des Universums zur Planckzeit

Der Kosmos

2011-06-03T06:33:00.001-07:00

Die Rotverschiebung zum Zeitpunkt der Äquivalenz von Materie und Strahlung beträgt:

z_eq = 20614 (siehe: hier klicken) und daher teq = 4629 [a] = 146.077e9 [s] und die Temperatur des kosmischen Hintergrundes im Equilibrium T_eq = z*T_cmb = 56173 [K]

gemäß Nonstandard Cosmology With Constant and Variable Gravitational and Variable Cosmological Constants gilt nach 8.3 und 8.4 wie folgt:

Die Gravitationskonstante ist im materiedominierten Universum gegeben durch:

G(z) = G/z mit G = 6.6743e11 [m^3/(s^2*kg)] und t0 = 13.7 Gyr = 4.3233e17 [s]
Gravitationskonstante im Equilibrium G_eq = G/z_eq = 3.2378e-15

Die Gravitationskonstante ist im strahlungsdominierten Universum gegeben durch:

G(t) = c^5*t^2/(zeta_r^4*h)
=> zeta_r = 1.4927e29 = R_eq*T_eq*(8*pi*atilde/(3*h*c))^(1/4)

Anzahl der primordialen Photonen im Universums N_gamma = 1.1256*zeta_r^3 = 3.7439e87

Zur Planck-Zeit ergeben sich dann die folgenden Werte:

Radius des Universums R0 = dx = sqrt(h*G/c^3)^(1/2)
Planck-Masse dm = sqrt(h*c/G)^(1/2)
Gravitationskonstante zur Planck Zeit dG = G/zeta_r^4
Masse des Universums dM = dm*zeta_r^4

Über die Gravitation

2011-03-12T07:56:00.000-08:00

1.) v^2 = G*M/R
2.) m = h/(v*R)
3.) a = m*v^3/h = v^2/R = G*M/R^2 = M*c^3/(zeta^4*h)

v .. Geschwindigkeit [m/s]
G .. Gravitationskonstante [m^3/(s^2*kg)]
M .. Masse des Zentralkörpers [kg]
R .. Abstand [m]
m .. Masse des Probekörpers [kg]
h .. Plancksches Wirkungsquantum [kg*m^2/s]
a .. Beschleunigung [m/s^2]
zeta .. Entropiekonstante zeta^4 = R^2/dx^2
dx .. Planck-Länge dx = sqrt(h*G/c^3)

Größe des beobachtbaren Universums

2011-02-04T07:27:00.000-08:00

siehe: scienceblogs.de

Dass das beobachtbare Universum einen Radius von 46Mrd. Lichtjahren hat, heißt natürlich nicht, dass wir jetzt Licht empfangen, das in 46Mrd. Lj Entfernung ausgesandt wurde. Der Ort, an dem das Licht, das wir jetzt empfangen, ausgesandt wurde, ist jetzt 46Mrd. Lj entfernt - als er das Licht ausgesandt hatte, war er natürlich viel dichter dran (nämlich etwa 40Millionen Lichtjahre)

Endlichkeit des Universums

2010-11-16T01:07:00.000-08:00

Bei A.Einstein siehe: Einstein und mit MAPLE gerechnet siehe: MAPLE lauten die Friedmann-Gleichungen:

k*c^2/R^2 + 2*R"/R + R'^2/R^2 = 0

und

k*c^2/R^2 + R'^2/R^2 - kappa*rho*c^2/3 = 0

mit k = +1 und kappa = 8*pi*G/c^2 bekommt man:

R"/R + kappa*rho*c^2/6 = 0 -> R" < 0 (sphärischer Geometrie) ein geschlossenes Universum.

Hubble-Konstante H0 = 70 km/(s*Mpc) -> Weltalter t0 = H0^(-1) = 4.408e17 [s]
Entropiekonstante zeta = (t0/dt)^(1/2) = 1.806e30 (dt = Planckzeit = sqrt(h*G/c^5))
Kritische Dichte rho_c = 3*H0/(8*pi*G) = 9.2044e-27 [kg/m^3]
Radius des Universums R0 = c*t0 = 1.3215e26 [m]
Dichteparameter Omega_0 = rho_0/rho_c = 2

=> Rmax = R0*Omega_0/(Omega0-1) = 2*R0 = 2.643e26 [m] = 27.937e9 [Jahre]
=> tmax = pi*Rmax/(2*c) = 43.884e9 [Jahre]
=> BigCrash bei tcoll = 2*tmax = 87.768e9 [Jahre]

Variable Gravitationskonstante

2010-07-20T06:21:00.000-07:00

Die Entropie S im Universum ist konstant gegeben durch die Normalverteilung P = exp((-R/dx)^2)

S = - k*ln P = R^2/dx^2*k = const = zeta^4*k

der Dimensionslose Adiabatenkonstante zeta = R*T*{8*pi*atilde/(3*h*c)}^(1/4) ~ 10^30

R .. Radius des Universums
dx .. Plancklänge = sqrt(h*G/c^3)
dt .. Planckzeit = sqrt(h*G/c^5)
zeta^4 = R^2/dx^2 (Adiabatenkonstante)
k .. Boltzmann Konstante
T .. Temperatur der kosmischen Hintergrundstrahlung = 2.725 [Kelvin]
atilde .. Strahlungskonstante = 4*sigma_sb/c
sigma_sb .. Stefan-Boltzmann Konstante
h .. Plancksches Wirkungsquantum
c .. Lichtgeschwindigkeit

Aus der Planck-Ära ergeben sich die folgenden Relationen:

M/R = c^2/G
M/t = c^3/G
M*a=c^4/G
M*R = zeta^4*h/c
M*t = zeta^4*h/c^3
M/a = zeta^4*h/c^3

=> a = M*c^3/(zeta^4*h) = G*M/R^2 = c/t

G .. Gravitationskonstante
dG .. Gravitationskonstante zur Planckzeit
M .. Masse des Universums
t .. Weltalter
a .. Beschleunigung

dG = G / zeta^4

Sphärisches Modell k = +1

2010-07-13T04:50:00.000-07:00

Bergmann / Schäfer - Sterne und Weltraum - Band 8
6. Kosmologie
6.3.3 Die Grundgleichungen

siehe: Google Books - Bergmann/Schäfer

(6.44) R´^2/R^2 = 8*pi*G/3*(rho_m + rho_s + rho_lambda) - k*c^2/R^2
(6.46) R"/R = -4*pi*G/3*(rho_m + 2*rho_s - 2*rho_lambda)

In der Planck-Ära ersetzen wir:
R´^2/R^2 = 1/dt^2
Gravitationskonstante zur Planck Ära dG = G/zeta^4
k = +1 -> k*c^2/R^2 = 1/dt^2
R"/R = -1/dt^2
Planck-Zeit dt = sqrt(h*G/c^5)
Planck-Länge dx = sqrt(h*G/c^3)
Planck-Masse dm = sqrt(h*c/G)

wir erhalten umgeformt aus 6.44 die Gleichung I: 1/dt^2 = 4*pi*dG/3*(rho_m + rho_s + rho_lambda)
und aus 6.46 die Gleichung II: 1/dt^2 = 4*pi*dG/3*(rho_m + 2*rho_s - 2*rho_lambda)

Durch Subtraktion Gl.I-Gl.II: 0 = -rho_s + 3*rho_lambda -> rho_lambda = rho_s/3
Einsetzen in Gl.II liefert: 3/(4*pi*dG*dt^2) = rho_m + 4/3*rho_s

Wir lösen die Gleichung durch einsetzen: rho_m = 3/(8*pi*dG*dt^2) = rho_c und rho_s = 9/(32*pi*dG*dt^2)

Es ergeben sich die kosmologischen Parameter zu:

Omega_m = rho_m / rho_c = 1
Omega_s = rho_s / rho_c = 3/4
Omega_lambda = rho_lambda / rho_c = 1/4

Omega = Omega_m + Omega_s + Omega_lambda = 2

R´ = c^2/(Omega-1) = c^2

Potentialgleichung

2010-06-09T06:00:00.000-07:00

G*M/R = c^2
G*M/R^2 = c/t
G*M/R^3 = 1/t^2

G*rho = 3/(8*pi*t^2)
G*M = c^3*t = c^2*R

3/R^2 = 8*pi*G/c^4 * rho*c^2 = 3/R^2 q.e.d.

laplace(phi) = 3*G*M/R^3 = 8*pi*G*rho = 3/t^2

Planck-Mechanik

2010-06-02T05:05:00.000-07:00

Planck-Größen d...

dm/dx = c^2/G
dm/dt = c^3/G
dm*da = c^4/G
dm*dx = h/c
dm*dt = h/c^2
dm/da = h/c^3

G*M = c^3*t
a = c/t
M*a = c^4/G
M*R = zeta^4*h/c
M*t = zeta^4*h/c^2
M/a = zeta^4*h/c^3

L/c^2 = Mbh/t = 1/zeta^4*c^3/G = h/c^2*1/t^2

G(t) = t^2*c^5/(zeta^4*h)
rho(t) = 3*h*zeta^4/(8*pi*c^5*t^4)
G(t)*rho(t) = 3/(8*pi*t^2)

Schwarzschild-Metrik

G*M/R = c^2
G*M/R^2 = c/t
G*M/R^3 = 1/t^2

Großer Attraktor

2010-05-05T02:29:00.000-07:00

Hubble Zahl H0 = 71.373 [km/(s*Mpc]
Weltzeit t0 = 1/H0 = 4.32332e17 [s]

v = c*z = H0*d

v = 4350 [km/s] => d = 60.9472 [Mpc] = 1.8806e24 [m]
dv = 570 [km/s]

Virialsatz M = v*dv*d/G = 6.9866e46 [kg]

dv = G*M/d^2*t0 = 6.6743e-11 * 6.9866e46 / 1.8806e24^2 * 4.32332e17 = 570 [km/s]

Beckenstein-Hawking Entropie

2010-05-05T01:46:00.000-07:00

Planckzeit t = dt = 1.3514e-43 [s]
Schwarzschildzeit ts = 1967 [Gyr]
Expansionsfaktor zeta=(ts/dt)^(1/2)=2.1432e31
Temperatur zur Planck-Zeit Tpl = zeta*dT = 1.2516e63 [K]
Bekenstein-Hawking Temperatur Tbh = Tpl/zeta = dT = 5.8402e31 [K]
Entropie S0 = 6.0809*k*ln(e(-R/dx)^2))=6.0809*k*zeta^4 [J/K]
Energie E0 = M0*c^2 = S0*Tbh = 1.0345e135 [J]

Alternatives Weltmodell R=c*t

2010-05-03T01:53:00.000-07:00

Lineare Expansion des Universums R ~ t

Strahlung: M ~ t^-1 und G ~ t^2
Materie: M = const und G ~ t

R(t) = c*t
G(t) = 1/zeta^4*c^5/h*t^2
M(t) = 1/t*h/c^2*zeta^4
G(t)*M(t) = c^3*t

1. G*M/R = c^2
2. Rddot = G*M/R^2 = c/t
3. G*M/R^3 = 1/t^2

Friedmanngleichungen:

(Rdot/R)^2 ~ (Rddot/R) ~ G*rho ~ 1/t^2

Adiabatisch R*T=const => T ~ t^-1

R=c*t=c*13.75[Gyr]=1.3008e26 [m]
Expansion des Quantengases: zeta^2 = R/dx = 3.2109e60

Entkoppelung von Strahlung und Materie:

z = (3*M*c^2/(4*pi*R^3))/(atilde*Tcmb^4) = 40932 => 335923 [a]

dx = R/zeta^2 = 4.0513e-35 [m] (Planck-Länge)

Kosmologische Expansion Zeta

2010-05-01T07:59:00.000-07:00

Expansion zeta = R*T*{8*pi*atilde/(3*h*c)}^(1/4) = 2.1432e31

Radius_Universum / Plancklänge = Ru/dx = zeta^2

Photonenzahl N_gamma = 1.1256*zeta^3

Entropie S = -k*ln*e(-R/dx)^2 = k*(R/dx)^2 = k*zeta^4

Weizsäcker Uren N = zeta^4:

Energie einer Ure E0 = h*c/R = 1.0675e-53 [J]
Masse einer Ure m0 = E0/c^2 = 1.1877e-70 [J] = dm/zeta^2

Gesamtenergie des Universums U = M*c^2 = E0*zeta^4

Zeitlich Entwicklung des frühen Universums

2010-04-29T09:44:00.000-07:00

Ru = 3*c*13.7e9a = 3.8883e26 [m]
-> R0 = 8.4653e-37 [m]

=> Adiabatische Expansion R*T = const !!!

1. Planck-Zeit dt = 10^-43 [s]

-> Planck-Temperatur dT = 1.2516e63 [K]
-> Adiabatenkonstante RT = R0*dT = 1.0596e27
-> Größe des Universums gleich R0

2. Einsetzen der Inflation ti = 10^-34 [s]

-> Größe des Universums ungefährt Ri = 30000*R0 ~ 2.7e-32 [m]
-> Temperatur Ti = RT / Ri ~ 1.06e28 / 2.7e-32 = 3.9e59 [K]

3. Inflationsphase Dauer von 10e-34 [s] bis 7.2879e-33 [s]

-> Größe des Universums nach der Inflation R = 8.8 [m]
-> Temperatur des Universums nach der Inflation 1.2e26 [K]
-> Vergrößerungsfaktor zeta_i = 4.4771e31

4. Energie am LHC = 7TeV ~ Alter des Universums von ca. 1.44e-13 [s]

5. Ende der Strahlungsära bei trec = 385000a = 1.2149e13 [s] (z = 1082)

-> Größe des Universums Rrec = 3.6e23 [m]

Zusammenfassung:

Gesamte Expansion des Quantengases: z*{(trec/dt)^(1/2)}*zeta_i = 4.5933e62

Über das kosmologische Problem

2010-04-07T05:07:00.000-07:00

Materiedominierter Kosmos:
M = const
R ~ t^2/3

Strahlungsdominierter Kosmos:
M ~ t^-1/2
R ~ t^1/2

Es gilt immer G*M/R^3 = 1/t^2

siehe: Ueber_das_kosmologische_Problem.html